samedi 27 août 2005
Frustration mathématique et mathématique des frustrations
Soient M un ensemble de problèmes à caractère mathématique et F un sous-ensemble de M contenant les problèmes que nous appellerons faux, c'est-à-dire qui demandent de prouver que la proposition A est vraie alors qu'elle est fausse.
Théorème de la frustration : La frustration éprouvée par celui qui tente de résoudre l'ensemble M est lié de manière proportionnelle et exponentielle au nombre k d'éléments de F, modulo le nombre i de problèmes non résolus
Il faut distinguer deux cas : soit M a déjà été résolu par quelqu'un d'autre (et vous est donc soumis à titre d'épreuve par exemple), soit il ne l'est pas (et ses éléments sont alors des conjectures). Dans le deuxième cas, le théorème est à la fois trivial et semi-non-applicable : en effet, d'avoir infirmer une conjecture peut être gratifiant, mais sera en général frustrant si vous étiez fort attaché à la conjecture, et le sera certainement si vous désiriez rentrer dans l'Histoire. Nous nous intéresserons donc au premier cas.
Par hypothèse, M a été résolu par une personne autre que vous, et donc M a été formulé par cette personne. On s'attend donc à ce que cette personne ait formulé les éléments de M comme il les a trouvés, et nous demande de les trouver. Si F est un ensemble non-vide, nous pouvons supposer deux cas :
- il s'agit d'une erreur ;
- il s'agit d'un piège.
Le permier cas nous amène à "quelle genre d'erreur ?". Cette erreur peut être de distraction, si notamment l'élément faux peut devenir vrai en modifiant un petit nombre de sous-éléments de cet élément. Si cependant l'erreur ne peut être ainsi corrigé (cas typique d'une négation non-écrite en langage mathématique), on peut penser que l'erreur vient de la démonstration fournie par le Fermat qui nous a soumis M. Cette supposition est vite écartée si la personne qui nous a soumis M est investi d'une certaine autorité et expérience qui ne devraient pas permettre d'erreur dans les problèmes du niveau de ceux de M (ce qui signifie donc que le coefficient de proportionnalité est intrinsèque à la difficulté des problèmes).
Nous sommes donc assez rapidement amenés à penser qu'il s'agit d'un piège. Un piège sournois destiné à nous fourvoyer dans la démonstration à envisager. Si F est un singleton, cette solution est relativement acceptable. Cependant, plus k croît moins cette solution est crédible, car elle l'était déjà peu au départ. En effet, quel est l'intérêt d'un piège en mathématique ? Si vous vous lancez dans la démonstration de la proposition fausse soumise, vous aboutirez, si votre démonstration est solide, à une contradiction, et vous aurez donc réalisé un raisonnement par l'absurde sans le savoir. Il est donc permis de douter de cette solution. Si k est petit, cette solution est envisageable, mais la limite de cette solution tend vers l'absurdité quand k tend vers l'infini.
Mais alors, pourquoi F existe-t-il ? Ne sachant répondre à cette frustrante question, vous revérifiez votre démonstration. Parfois cela diminue k, souvent pas.
Quand vous remettez à la personne qui a créé M l'ensemble M' de vos solutions pour M, vous avez déjà maintes fois vérifier vos démonstrations que vous considérez donc comme solides. Peut-être même avez-vous fait vérifier vos démonstrations par un tiers. Mais ce n'est pas suffisant. Il reste un doute. Et si l'autre ne s'était pas trompé ? Ces problèmes sont terriblements frustrants ! Pourquoi n'ont-ils pas été formulés autrement ?
Le théorème est ainsi démontré. La présence de "modulo le nombre i de problèmes non résolus" est d'origine triviale : ne pas savoir résoudre un problème est frustrant si l'on est attaché au domaine du problème, ce qui est supposé être le cas ici sinon il y a longtemps que vous aurez envoyé promener l'autre qui vous a soumis M.
Ceci pour dire que je suis terriblement frustré par cet ensemble F qui contient beaucoup trop d'éléments à mon goût, comparé au nombre d'éléments de M.
Ce billet, écrit à 00:12 par Esope dans la catégorie Μωραινω - Général - Mathématiques a suscité :
