Esope Blog

Vous ne faites pas partie des chanceux qui ont un don pour la factorisation, vous connaissez toutes les méthodes de factorisation vues en classe, mais devant un polynôme vous vous retrouvez avec l'angoisse de la page blanche ?

Raisonnez méthodiquement, en suivant le schéma ci-dessous. Quand vous répondez oui à une question, passez à la ligne suivante. Quand vous répondez non ou quand la méthode que vous tentez ne fonctionne pas, passez au numéro suivant (en respectant la structure des numéros).

1. Avant tout, vérifiez bien que vous ne pouvez regrouper certains termes ensemble (s'ils ont la même partie littérale, c'est-à-dire les mêmes "lettres" avec les mêmes exposants).
2. Le polynôme a-t-il plusieurs "lettres" différentes ?
   1. Y a-t-il une des "lettres" qui apparaît dans chaque terme ?
      • Vous avez loupé une mise en évidence. Une fois celle-ci effectuée, vous devriez y voir plus clair (tant que vous y êtes, vérifiez qu'aucun chiffre ne puis être mis en évidence).
   2. Certaines "lettres" ont-elles le même exposant et le polynôme contient-il 4 termes ou moins ?
      • Dans ce cas il s'agit certainement d'un artifice de calcul ou d'une identité remarquable que vous auriez loupée (n'oubliez pas que ).
   3. Tentez une méthode d'Horner "sans chiffre" : vous choisissez une des lettres (celle qui apparaît le plus souvent, généralement partout sauf dans un terme) qui sera la variable et considérez les autres comme des coefficients. Calculez la valeur du polynôme en remplaçant la lettre que vous avez choisie par une des autres lettres (qui apparaît dans le terme indépendant).^[1]
3. Le polynôme est-il du deuxième degré ?
   • Tentez la méthode de la somme et du produit.
4. Tentez la méthode d'Horner.

Exemple

Voici un monstre :

1. Peut-on regrouper certains termes ? Non
2. Le polynôme a-t-il plusieurs "lettres" différentes ? Oui
   1. Y a-t-il une des "lettres" qui apparaît dans chaque terme ? Oui, un "x" que nous pouvons mettre en évidence, soit :

On repart donc du début avec le nouveau polynôme que nous avons obtenu, celui qui se trouve entre parenthèses :

1. Peut-on regrouper certains termes ? Non^[2]
2. Le polynôme a-t-il plusieurs "lettres" différentes ? Oui
   1. Y a-t-il une des "lettres" qui apparaît dans chaque terme ? Non^[3]
   2. Certaines "lettres" ont-elles le même exposant et le polynôme contient-il 4 termes ou moins ? Non, 8 termes, c'est mal parti pour une identité remarquable
   3. Tentons une méthode d'Horner. Nous remarquons que la lettre "x" apparaît partout sauf dans un seul terme, "3wz", qui est donc le terme indépendant. Prenons donc un des facteurs du terme indépendant, soit "3", "w" ou "z", et calculons la valeur du polynôme pour x = le facteur que nous avons choisi. Je vous laisse les calculs :-)

Nous pouvons donc factoriser le polynôme par (x - 3). On pourrait s'arrêter là et recommencer depuis l'étape n°1, mais pourquoi pas essayer les autres facteurs ?

Ca marche ! Nous pouvons donc écrire, sans oublier la mise en évidence du "x" que nous avons effectuée au début :